SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES. Dos o más sucesos son mutuamente excluyentes o incompatibles, si una vez realizado el experimento, la ocurrencia de uno de estos sucesos excluye toda posibilidad de que ocurra el otro suceso.
Ejemplo:
Se analizan un grupo de personas que han sido contagiadas con corona virus, analizamos al azar a una persona de un grupo de personas menores de 25 y de otro grupo mayores de 35. Son mutuamente excluyentes, porque una no puede tener menor a 25 años y al mismo tiempo mas de 35.
SUCESOS COMPLEMENTARIOS O CONTRARIOS. Dos sucesos A y B son complementarios, si uno de ellos es el suceso contrario del otro. Esto significa que A es el suceso, no ocurre B.
Ejemplo:
A: Una persona se contagiada de coronavirus
B: suceso contrario, la persona nunca se a contagiado de coronavirus..
La unión de sucesos contrarios es el espacio muestral, es decir, A ∩ B = Φ . Por otro lado, puesto que A ∩ B = Φ, es evidente que los sucesos complementarios son mutuamente excluyentes.
LEY DE LA SUMA DE PROBABILIDADES O REGLA DEL “o” PARA SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES.
Esta regla dice que la probabilidad de que ocurra cualquiera de dos o más sucesos, es la suma de sus probabilidades siempre y cuando esos sucesos sean mutuamente excluyentes.
Ejemplo:
Si tenemos 7 estudiantes contagiados menores de 25 años, 5 estudiantes contagiados entre 26 - 40 años y 2 estudiantes contagiados mayores de 40 años.
Si A es suceso, el o la estudiante contagiada tiene menor de 25 años y B el o la estudiante contagiada tiene entre 26 - 40 años.
La probabilidad de que ocurra A o B se expresa: P ( A ∪ B ) Y dado que A y B son sucesos mutuamente excluyentes P ( A ∪ B = Φ), es posible calcular P ( A ∪ B ) como la suma de las probabilidades de A y de B.
En efecto P(A) = 7/14 y P(B) = 5/14 luego P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) = 7/14 + 5/ 14 = 12/14 =6/7
Actividad Practica:APLIQUE LA LEY DE LA SUMA DE PROBABILIDADES O REGLA DEL “o” PARA SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES EN LOS SIGUIENTES PROBLEMAS.
1) La probabilidad de que un estudiante, con los elementos de la canasta JUNAEB almuerce arroz con huevo es de 0,6. La probabilidad de que almuerce papas con jurel es de 0,2. Calcula la probabilidad de que un día cualquiera, almuerce arroz con huevo o papas con jurel.
2) La probabilidad de que, en un grupo de 7 personas, escojamos a una con mascarilla en buen estado es 3/7 y la probabilidad de escoger una persona con mascarilla de mala calidad es 2/7. ¿Cuál es la probabilidad de escoger una persona con mascarilla de buen estado o de mala calidad?
3) La probabilidad de que, al tirar un dado, salga 2, es de 1/6. La probabilidad de que salga 4, es de 1/6. Calcular la probabilidad de que, al tirar un dado, salga 1 o 3.
4) La probabilidad de obtener $500.000 en el bono de clase media es 0,2, la probabilidad de obtener $400.000 en el bono de clase media es 0,3. Calcular la probabilidad de obtener $500.000 o $400.000 en el bono de clase media
PROBABILIDAD DE SUCESOS CONDICIONADOS: La probabilidad condicional consiste en calcular la probabilidad de un suceso A dado que ocurrió otro suceso B. La ocurrencia de B implica una modificación del espacio muestral considerado para el cálculo de la probabilidad de A.
Veamos un ejemplo: Se lanza un dado.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que salga 2 dado que salió par? En este caso el espacio muestral Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} se reduce a las posibilidades del suceso ocurrido {2, 4, 6}. Entonces la probabilidad de que salga 2 se calcula sobre el espacio muestral reducido, lo que da 1/ 3 .
b) ¿Cuál es la probabilidad de que salga < 3 dado que salió > 1? Ahora Ω se reduce a {2, 3, 4, 5, 6} por lo que probabilidad pedida resulta 1 /5 .
Definición: Si A y B son sucesos, entonces el suceso “A dado que ocurrió B” se escribe A/B.
En la situación (a) del ejemplo anterior, A: sale 2; B: sale par y A/B: sale 2 dado que salió par. La probabilidad de que salga 2 dado que salió par, se escribe P ( A / B ) y es igual a 1/ 3 .
En la situación (b), A: sale < 3; B: sale > 1; P ( A / B ) = 1 /5
Actividad Practica: APLIQUE PROBABILIDAD DE SUCESOS CONDICIONADOS EN LOS SIGUIENTES PROBLEMAS.
1-Si se lanza dos veces un dado equilibrado de seis caras. ¿Cuàl es la probabilidad de que la suma de los puntos de los lanzamientos sea nueve, dado que en el primer lanzamiento se obtuvo un número par?
2- Desde una bolsa que contiene 15 semillas de flores rojas y 5 de flores blancas. Se seleccionan dos semillas al azar, una por una, cuál es la probabilidad de que la primera semilla sea de una flor roja. La segunda semilla sea blanca dado que la primera fue roja?
3- Una persona lanza una moneda 3 veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener 3 caras dado que salió por lo menos una cara?
4- 1- En un examen de matemáticas tiene dos preguntas de cada contenido, de los 6 vistos en clases, un estudiante solo maneja los 3 primeros, luego el profesor reduce la prueba a 2 preguntas de cada contenido, utilizando solo los 4 primeros. Calcular la probabilidad de que al estudiante le salgan preguntas de los contenidos que el maneja.
INDEPENDENCIA DE SUCESOS. En teoría de probabilidades, se dice que dos sucesos aleatorios son independientes entre sí cuando la probabilidad de cada uno de ellos no está influida porque el otro suceso ocurra o no, es decir, cuando ambos sucesos no están relacionados
Ejemplo:
Se lanza un dado ¿Cúal es la probabilidad de obtener un número par si salió un número menor que 5?
Actividad practica: ANALIZA SI LOS PROBLEMAS QUE ESTAN A CONTINUACION SON SUCESOS INDEPENDIENTES.
1) Se extrae una carta de un mazo de un naipe inglés. ¿Cuál es la probabilidad de que la carta sea una figura dado que es de diamante? ¿Son independientes estos sucesos?
2) Se lanzan una moneda 2 veces. A: Sale cara en el primer lanzamiento; B: sale cara en el segundo lanzamiento. ¿Son A y B independientes?.
3) Se lanza un dado 2 veces. ¿ Son independientes los sucesos: A: la primera vez sale un 6; B: la segunda vez sale un 6?
4) Se tiene una bolsa oscura con 3 bolitas, 2 negras y una blanca. Se sacan dos bolitas al azar con reposición. A: Sale negra en la primera extracción; B: sale negra en la segunda extracción. ¿Son A y B independientes?.
LEY DEL PRODUCTO DE PROBABILIDADES O REGLA DEL “y”. Esta ley se refiere a la probabilidad conjunta o simultánea de dos sucesos. El suceso “A y B ocurren simultáneamente” se denota, (A ∩ B) y su probabilidad, P (A ∩ B), puede calcularse mediante la siguiente regla o definición: P (A ∩ B) = P (A) * P (B/A) o también: P (A ∩ B) = P (B) * P (A/B).
Ejemplo: Supongamos que se extraen sucesivamente al azar dos bolitas de una caja que contiene 3 bolitas negras, 2 blancas y 1 azul. ¿Cuál es la probabilidad de extraer primero una bolita negra y después una bolita azul?
ACTIVIDAD PRACTICA: CALCULE LA PROBABILIDAD EN LOS SIGUIENTES PROBLEMAS UTILIZANDO LEY DEL PRODUCTO DE PROBABILIDADES O REGLA DEL “y"
1 ) La probabilidad de que un estudiante salga a trabajar en cuarentena es de 0,40 y la probabilidad de que gane más de $ 5.000 es de 0,75. ¿Cuál es la probabilidad de que salga a trabajar y gaste más de $ 5.000?
2) La probabilidad de que un o una estudiante esté en su casa cuando un vendedor de pan lleve el delivery es de 0,30. Dado que el o ella está en casa, la probabilidad de que compre el pan es 0,40. Encuentre la probabilidad de que la dueña de casa esté y compre el pan.
3) La probabilidad de que un médico diagnostique de manera correcta el corona virus es de 0,6. Dado que el doctor hace un diagnóstico incorrecto, la probabilidad de que el paciente presente una demanda es de 0,85. ¿Cuál es la probabilidad de que el doctor haga un diagnóstico incorrecto y el paciente lo demande?
PROBABILIDAD CONJUNTA Y SUCESOS INDEPENDIENTES
Se vio que si A y B son sucesos independientes, entonces P ( B / A ) = P ( B ); entonces la expresión, P (A ∩ B) = P(A) • P ( B / A ) se transforma en: P (A ∩ B) = P(A) • P ( B )
Ejemplo : Si en una baraja de 52 cartas de naipes ingleses, ¿ cuál es la probabilidad de extraer al azar un as y luego un rey ?
En efecto, P(as) = 4/52 = 1/13 , luego P(rey) = 4/51
P(un as y un rey) = P(as) × P(rey) =1/13 × 4/51 = 4/ 663= 0,006 * 100= 0,6%
ACTIVIDAD PRÁCTICA: CALCULE LA PROBABILIDAD CONJUNTA EN LOS SIGUIENTES SUCESOS INDEPENDIENTES
1. En una caja de doce huevos hay tres quebrados. Se extrae uno y luego un segundo huevo de la caja. ¿ Cuál es la probabilidad de que salgan los dos quebrados?
2- Se reúne el comité directivo de estudio para decidir si despiden o no al presidente del comité. Cinco quieren despedirlo y tres no quieren. Viene un profesor e interroga a dos de ellos al azar. ¿ Cuál es la probabilidad de que los dos opinen que hay que despedirlo?
3- Calcule la probabilidad de que un alumno escoja música y francés en la siguiente tabla:
LEY DE LA SUMA DE PROBABILIDADES O REGLA DEL
“o” PARA DOS SUCESOS CUALQUIERA
Esta regla se refiere a P(A B) , la probabilidad de que ocurra cualquiera de dos sucesos (no importa que
los sucesos sean mutuamente excluyentes). Se expresa mediante la siguiente regla:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B ) - P (A ∩ B)
La regla de la probabilidad total puede explicarse del siguiente modo: Supongamos que en la figura, la
probabilidad de achuntar a la región A con un dardo es P(A); la probabilidad de achuntar a la región B es
P(B) y la probabilidad de achuntar a la región común, es decir a la intersección de áreas, es P (A ∩ B).
Ejemplo:
Supongamos que se extrae al azar una bolita de una caja que contiene 3 bolitas negras, numeradas
del 1 al 3 y 2 bolitas blancas numeradas con 4 y 5, respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de extraer
una bolita negra o impar?
ACTIVIDAD PRACTICA:
1- Se organiza una rifa para juntar dinero en estos difíciles momentos de pandemia en el que participan los números del 1 al 500. Gana quien tenga
un número múltiplo de 10 o uno múltiplo de 25. ¿Cuál es la probabilidad de ganar?
2-
¿Cuál Es la probabilidad de que
al lanzar un dado salga par o o factor de 6?
3- Se lanzan dos dados ¿cuál es la probabilidad
de que la suma sea múltiplo de 6 o 4?
4- Se lanza una moneda y un dado. ¿Cuál es la
probabilidad de obtener “cara” o “tres”?
5- Se lanza simultáneamente dos monedas. ¿Cuál es
la probabilidad de obtener exactamente 2 caras o al menos un sello?
